Matemáticas IV: BLOQUE VII Funciones exponenciales y logarítmicas

Sea

un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia

se llama función exponencial de base a y exponente x.

Como

para todo

,la función exponencial es una función de

En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial.

2.1.1 Teorema (Leyes de los Exponentes)

Sean a y b reales positivos y x,yÎÂ ,entonces:

6 .

Cuando a > 1 ,si x < y, entonces,

.Es decir, cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial
de base a es estrictamente creciente en su dominio.

Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces,

Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en

su dominio.

10.Si 0< a < b ,se tiene:

Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases.

11. Cualquiera que sea el número real positivo

,existe un único número real

tal que

. Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva.

Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e yson reales, la demostración utiliza elementos del análisis real.

Gráfica de la Función Exponencial

En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas en el teorema, es conveniente hacer algunos comentarios adicionales.

En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 (fig. 1) y de base a < 1 (fig. 2).

Note que cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial

(fig.1) no está acotada superiormente. Es decir ,

crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es ,

tiende a cero(0), cuando x toma valores grandes pero negativos.

Igualmente, cuando la base a < 1, la función exponencial

(fig.2) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así,

crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y

tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos.

El hecho de ser la función exponencial

con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio.Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa ( función logarítmica), que se presentan en la próxima sección.

En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de función; y, en otro, del hecho de ser la función exponencial inyectiva.

Observación.

Cuando a = e ,donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284….,la función exponencial

,se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota por Exp( x ) = .

Las Funciones Hiperbólicas
En algunos problemas de Física e Ingeniería, se presentan ciertas combinaciones de las funciones

que por su interés y características especiales merecen ser consideradas con algún tratamiento. Tales combinaciones reciben el nombre de funciones hiperbólicas.

Aquí solamente, se definirán y presentarán algunas identidades básicas que las relacionan.

La función COSENO HIPERBÓLICO, denotada por coshx, se define:

na función se llama logarítmica cuando es de la forma y = log a x donde la base a es un número real y positivo pero distinto de 1, puesto que el resultado sería 0.

Entonces se dan dos casos:

Base mayor que la unidad (a > 1)

Comparación: Las 3 funciones (log 2 x, log 5 x, log 7 x) se unen en el punto (1,0) porque el log a 1 = 0, y el log a a = 1, con lo que coincide que la gráfica pasa por (1,0) y (a,1).

En la función logarítmica (cuando a > 1) cuanto mayor es la base del logaritmo, más cerca del eje X está.

Las funciones de la forma y = log a x cuando la base es mayor que la unidad (a > 1) tienen las siguientes características:

(tomando como ejemplo la función f (x) = log 5 x)

-Dominio: el dominio de la función son los reales positivos puesto que no existe el logaritmo de un número negativo. Dom (f) = R +

En este tramo la función es negativa porque al introducir la antiimagen de un número racional la imagen que da, es un número negativo, lo que no quiere decir que existan imágenes para números negativos en esta función, ya que es imposible. log -x "

-Recorrido: el recorrido de la función es toda la recta real

ya que se ve como la función llega de -" y continua hacia + ".

-Continuas y crecientes: la función es creciente en todo su dominio porque...

...x < x' ! f(x) " f(x'), y continua porque todos sus puntos tienen imagen, tienen límite, y el límite de un punto coincide con la imagen del punto.

-Simetría: la función no es ni simétrica impar (por no ser simétrica respecto del origen) ni tampoco par (por no ser simétrica respecto del eje de coordenadas

no es simétrica respecto del origen

no es simétrica respecto del eje de ordenadas

-Asintotas: Partiendo del Dominio de la función ( Dom(f) = R+ ),

no se ven números concretos candidatos a asíntota por lo que viendo la gráfica deducimos que

x = 0, es una asíntota vertical y al probarlo comprobamos que es cierto.

lim log 5 x = - "

x ! 0 +

lim log 5 x = + "

x ! 0 -

No tiene asíntotas horizontales porque el limite cuando la función tiende a infinito no es un número concreto, (a simple vista se aprecia) al igual que no tiene asíntotas oblicuas.