sábado, 27 de abril de 2013

BLOQUE V: Funciones factorizables en la resolución de problemas



Los ceros o raíces de una función son los valores de la variable x para los cuales  f(x) = 0

 Teniendo en cuenta   la expresión general de una función cuadrática y además que f(x)=0 ,

    igualamos la expresión a cero y se transforma en una ecuación cuadrática.

  

Para hallar los ceros de una función f(x), hay que buscar las abscisas de los puntos cuya ordenada es 0.
Para ello, planteamos f(x)=0 y despejamos, de ser posible, los valores de x que verifican la ecuación.
Ejemplos:
Busquemos las raíces de h(x)= x2 - 1     ( a=1, b=0, c= -1)
Planteamos x2 - 1=0
Despejamos x = x2 =  |x|= Ö 1 =>
|x|= 1 =>x1=1    o  x2= -1
Los valores  x1=1    o  x2= -1 son los puntos en los que el gráfico de esta función interseca al eje x.
Busquemos las raíces de g(x)= x2 + 2      ( a=1, b=0, c= 2 )
Planteamos ------------->x2 + 2 =0
Despejamos x ---------->x2 = -2
Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo, g(x) no tiene raíces reales, es decir,  no tiene puntos de contacto con el eje x. 

 Busquemos las raíces de g(x)= (x -3 )2
Planteamos -------------> ( x - 3 )2  =0
Despejamos x ---------->  x - 3      = Ö 0
x - 3      = 0  =>  x = 3

 El  valor  x=3    es el único  punto en el  que el gráfico de esta función interseca al eje x, dicho punto coincide con su vértice, en este caso la raíz se llama doble.
Busquemos las raíces de g (x)= x 2 + 4x      ( a=1, b=4, c= 0)
Planteamos --------------->    x 2 + 4x  = 0
Extraemos factor común x--> x (x + 4 ) = 0
Si x (x + 4 ) = 0 => x=0     o     x + 4 =0
Despejamos x ---------->    x  + 4   =  0    =>  x = -4
Los valores  x1= 0   o  x2= -4  son los puntos en los que el gráfico de esta función interseca al eje x.
Busquemos las raíces de g (x)= x 2 + 2x - 3     ( a=1, b=2, c= -3)
Planteamos ------------->    x 2 + 2x - 3 =0

f(x) = x2 + x - 12
Cuando lo igualamos a cero y lo resolvemos tenemos:
x2 + x - 12 = 0 Igualando a cero.
(x + 4)(x - 3) = 0 Factorizando.
x = - 4 Solución 1
x = 3 Solución 2
Puesto que x1 = - 4 y x2 = 3 son soluciones de f(x) entonces f( -4 )= 0 y f( 3 )= 0. Decimos entonces que x = - 4 y x = 3 son raíces del polinomio f(x)= x2 + x - 12
Las raíces de f(x) = x3 - 4 x2 + x + 6 son x = - 1, x = 2 y x = 3


Teoremas del factor y del residuo


 Si  es el residuo de dividir el polinomio  entre , entonces .

Demostración.
Como  por el algoritmo de la división, se tiene que si , .
O sea, .

Ejemplo.
Hállese el residuo de dividir el polinomio  entre .

Solución.
* se puede escribir como , por tanto .
.
.
O sea que el residuo es 2.



Teorema del factor 


Si  es un cero del polinomio , entonces  es un factor de .
Demostración.
Si  es un cero de , .
Pero por el algoritmo de la división .
Como , .
Por tanto,  y .

Ejemplo 
Use el teorema del factor para probar que  es un factor de .

Solución.
, así .
.
Luego –1 es un cero de .
Así  es un factor de .

División sintética 

La división sintética es un procedimiento "abreviado" para determinar el cociente y el residuo que se obtiene al dividir un polinomio $P(x)$ de grado $n, \, \, \, n \geq 1$, por un polinomio de la forma $x-\alpha$, con $\alpha \in I \!\!R$, a partir de los coeficiente de $P(x)$ y el cero de $x-\alpha$. 

El procedimiento que usaremos para realizar la división sintética de un polinomio $P(x)$, por un polinomio de la forma $x-\alpha$, lo ilustraremos a través de ejemplos.

Comenzamos dividiéndolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos términos durante el procedimiento, los términos restados pueden quitarse sin crear ninguna confusión, al igual que no es necesario bajar los términos . al eliminar estos términos repetidos el ejercicio nos queda:
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x, así:
Como para este tipo de división solo se realiza con para divisores de la forma x – c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 – c, por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo, también se puede lograr una forma más compacta al mover los números hacia arriba, nos queda de la siguiente forma:
Si ahora insertamos a la primera posición del último renglón al primer coeficiente del residuo (2), tenemos que los primeros números de este renglón son los mismos coeficientes del cociente y el último número es el residuo, como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente.


Teorema fundamental del álgebra 



El Teorema Fundamental del Algebra (TFA) dice que todo polinomio a coeficientes complejos tiene un raíz compleja, es decir existe un número complejo donde el polinomio evalua a cero. Hay muchas demostraciones de este importante resultado. Todas requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas.
 Sin embargo, si se deja de lado algo del rigor matemático, hay argumentos simples y creibles, que le permiten a uno convencerse de la veracidad del TFA. Nuestro objetivo es presentar a continuación uno de estos argumentos.
Consideremos entonces un polinomio P(z) cualquiera de grado n. 

Luego, su n-ésimo coeficiente Pn no puede ser igual a 0. SiP(0)=0, estarímos listos pues tendríamos que 0 es una raíz de P. Supondremos entonces que se tiene el caso no trivial, es decir, queP(0) no es 0. Notar que esto significa que P0 es distinto de 0, puesto que P(0)=P0.

Teorema de factorización lineal 




Si f(x) es un polinomio de grado n, con n > 0, entonces f(x) tiene precisamente n 
factores lineales, es decir: 
f(x) = a(x – c1)(x – c2)....(x – cn),
en donde c1, c2, .....cn son números complejos y a es el coeficiente principal de f(x). 




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